De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat

vragen bekijken

een vraag stellen

hulpjes

zoeken

FAQ

links

twitter

boeken

help

inloggen

colofon

Reageren...

Re: Differentiaalvergelijkingen 3 Pittige!

beste meneer/mevrouw

Ik ben een student aan de eerste graads lerarenopleiding en ik moet een probleem oplossen met modulorekenen. En wel:
Bewijs: de vergelijking x²=1(mod p^k) met p is priem en p$>$2 heeft precies 2 oplossingen, namelijk x=1(mod p^k) en x=-1(mod p^k). Ik heb echt geen idee hoe ik hieraan moet beginnen. Kunnen jullie mij misschien helpen?

Alvast bedankt

Antwoord

Je kunt dit als volgt aanpakken:
x² = 1 (mod p^k)
x² - 1 = 0 (mod p^k)
(x + 1)·(x - 1) = 0 (mod p^k)
dus p^k is een deler van (x + 1)·(x - 1)
Als het priemgetal p (p2) deler is van x + 1, dan kan p niet tegelijk ook deler zijn van x - 1, omdat er maar een verschil van 2 tussen deze twee getallen zit. Andersom geldt iets dergelijks.
Dus p is òf deler van x + 1, òf deler van x - 1.
Dus ook p^k is òf deler van x + 1, òf deler van x - 1.
Daarmee is het aangetoond.
Groet,

Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!

Reactie:
	Klik eerst in het tekstvlak voordat je deze knopjes en tekens gebruikt. Pas op: onderstaande knopjes en speciale karakters werken niet bij ALLE browsers! áâæàåãäßçéêèëíîìïñóôòøõöúûùüýÿ½¼¾€£®© $\forall$$\exists$$\neg$$\wedge$$\vee$$\Leftrightarrow$$\Leftarrow$$\Rightarrow$$\emptyset$$\cap$$\cup$$\supset$$\supseteq$$\not\subset$$\subset$$\subseteq$$\in$$\notin$ $\sim$$\equiv$$\ne$$\pm$$\times$$\div$$\otimes$$\oplus$$\pi$$\leftarrow$$\uparrow$$\to$$\downarrow$ $\sqrt{}$$\sum$$\prod$$\infty$$\smallint$$\Delta$$\nabla$$\partial$$\angle$$\bot$$\cong$$\widehat p$ $\alpha$$\beta$$\gamma$$\delta$$\varepsilon$$\phi$$\theta$$\lambda$$\mu$$\rho$$\sigma$$\tau$$\omega$$\chi$$\Gamma$$\vartheta$$\Lambda$$\Omega$$\Psi$$\zeta$ $\mathbf{N}$ $\mathbf{Z}$ $\mathbf{Q}$ $\mathbf{R}$ $\mathbf{C}$
Categorie:	Differentiaalvergelijking
Ik ben:	-------------- Maak een keuze --------------- Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo Leerling bovenbouw vmbo Leerling bovenbouw havo-vwo Leerling mbo Student hbo Student universiteit 1ste graad ASO-TSO-BSO Overige TSO-BSO 2de graad ASO 3de graad ASO Student Hoger Onderwijs België Student universiteit België Cursist vavo Docent Ouder Iets anders Beantwoorder
Naam:
Emailadres:
Datum:	18-5-2024